Fraktale
oder
wie die Mathematik
farbig wurde.
Was sind
Fraktale?
Wie entsteht ein
Bild?
Ein Beispiel
Dies ist natürlich bei
weitem keine vollständige und schon gar keine exakt
wissenschaftliche Abhandlung. Es gibt genügend Fachliteratur zum
Thema, und ich fühle mich nicht imstande, etwas sinnvolles
dazuzutun. Die folgenden Ausführungen dienen lediglich dazu,
eine Idee von der Theorie hinter den Bildern zu geben. Der
Hauptzweck ist die Freude an Form und Farbe.
Das ist die optische
Umsetzung einer mathematischen Formel oder eines
Gleichungssystems. Das wohl berühmteste Fraktal ist das
sogenannte "Apfelmännchen", weil es wie ein plumpes
Männchen aussieht, oder wohl eher wie ein Schneemännchen.
Es ist ein Beispiel für die "Mandelbrot-Menge", so
genannt nach dem Mathematiker Benoit Mandelbrot, der sie als
erster auf einem Computerbildschirm darstellte.
Fraktale zeichnen sich durch eine Reihe von Eigenschaften aus, die sie in mehr oder weniger ausgeprägtem Masse besitzen. Eine davon ist die "Selbstähnlichkeit", d.h. beim vergrössern oder hineinzoomen findet man immer wieder dieselben Strukturelemente.
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Im Zusammenhang mit Fraktalen ist vielmal von "Chaos" die Rede. Die Chaostheorie ist in der modernen Mathematik ein beliebtes Tummelfeld, mit der man viele Naturereignisse beschreiben kann. Manche versuchen sogar, alles damit zu beschreiben. Das Prinzip ist, dass ein kleines Ereignis, je nachdem in welche Richtung es geht, eine grosse Wirkung haben kann oder sogar die Welt verändern. Zum Beispiel gibt es Leute, die behaupten, dass der Flügelschlag eines Schmetterlings zur richtigen Zeit am richtigen Ort in der Karibik einen Sturm in Europa auslösen kann.
In folgendem Bild gibt es Bereiche von Chaos, wo überhaupt keine Ordnung zu erkennen ist. Das heisst, dass die Formel mit minimalen Änderungen völlig unterschiedliche Resultate liefert.
Im gleichen Bild findet man beim hineinzoomen auch eine "Singularität", die dünne senkrechte blaue Linie. Eine Singularität ist ein Punkt oder eine Linie, wo sich die Gleichung völlig anders verhält als in der nächsten Umgebung.
Wie entsteht ein
Bild?
Einfach gesagt: Die Bilder sind berechnet. Per Computer.
Wer nicht glaubt, dass ein Computer solch farbenfrohe,
chaotische, harmonische,
zarte, feurige,
sinnliche, wütende,
wilde, poetische,
besinnliche, fröhliche,
kurz gesagt verschiedenartige Bilder machen kann, für den seien
die folgenden Erklärungen aufgeschrieben.
1. Natürlich macht der Computer gar nichts, wenn ihm nicht ein
vernunftbegabtes Wesen sagt, was er tun soll.
2. Ein Computer kann nichts anderes als rechnen. Das kann er
dafür gut. Und schnell. Und das ist nützlich, er muss nämlich
für jeden Bildpunkt eine Formel berechnen. Im Fall der
Mandelbrot-Menge ("Apfelmännchen") ist es die
folgende:
z(0) = c = pixel; z(n+1) = z(n)^2 + c.
3. Schnell rechnen ist nötig. Damit ein Fraktal auf einem
A3-Ausdruck gut aussieht, hat es zwischen 3'145'728 und
12'582'912 Bildpunkte (zum Vergleich: Die ganze Bibel hat
ungefähr 5'000'000 Buchstaben). Wenn ein Mathematiker nach der
Lehre im Alter von 15 Jahren anfängt, pro Tag 8 Stunden und pro
Jahr 220 Tage arbeitet, und bis zur Pensionierung mit 65 Jahren
ein einziges Bild von Hand berechnen will, dann bleiben ihm pro
Bildpunkt 25 Sekunden.
4. Die berechneten Werte werden so normiert, dass sie zwischen 0
und 255 liegen. Anschliessend wird jedem Wert eine bestimmte
Farbe zugeordnet, also 256 verschiedene Farben, das sind 2 hoch
8, und zum Schluss wird jeder Bildpunkt mit der entsprechenden
Farbe eingefärbt. Unser Mathematiker hätte also ein
Millimeter-Papier von drei mal vier Meter Grösse und 256
verschiedene Farbstifte und würde bis zu seiner Pensionierung
alle 25 Sekunden einen Quadratmillimeter mit der berechneten
Farbe ausmalen.
Ein Beispiel:
Formel:
z(0) = pixel;
if real(z(n) > 0 then z(n+1) = (real(z(n))^2 - imag(z(n))^2 -
1)
+ i * (2*real(z((n)) * imag(z((n))) else
z(n+1) = (real(z(n))^2 - imag(z(n))^2 - 1 + real(c) * real(z(n))
+ i * (2*real(z((n)) * imag(z((n)) + imag(c) * real(z(n))
Reeller Teil von c = 0.1
Imaginärer Teil von c = 0.36
xmin = -0.158823133
xmax = 0.0398786664
ymin = 0.216667116
ymax = 0.365787029
| Farbpalette: | Ergebnis: |
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